Tantárgy adatlapja
Számítógéppel segített bizonyítások és intervallum-analízis
Célja: Bevezetés: megbízható (intervallum típusú) számítások a matematikai analízisben, elsődlegesen nemlineáris feladatok megoldására valamint a dinamikai rendszerek kaotikusságának vizsgálatában.
Tematikai összefoglalás
Bevezető példák:
1.) „káosz-játék”: Sierpinski háromszög mint affin leképezések iterált függvényrendszere, önhasonlóság és fraktálszerűség, kódolás
Bevezető példák:
2.) affin Smale-patkó: kódolás/konjugáció a kételemű szimbólumok terén értelmezett balratolás operátorával
Az intervallum-analízis alapfogalmai:
intervallum-algebra, intervallumsorozatok és ezek konvergenciája, intervallumfüggvények, INTLAB
Optimumszámítás megbízható módon:
korlátozások és elágazások típusú intervallum-felosztó algoritmus
Nemlineáris egyenletek megoldása:
Newton módszer és ennek intervallumos, Krawczyk féle változata (alkalmazás lineáris egyenletrendszerek iteratív megoldására is)
A számítógépes káosz-bizonyítások alapja:
Miranda-Moore teszt nemlineáris egyenletek megoldására, és a mögöttes Brouwer féle fixponttétel
A káosz alaptulajdonságai és Devaney féle definíciója,
strukturális stabilitás: a Smale-patkó strukturális stabilitása
Egydimenziós leképezések kaotikussága:
átmenetgráf és lemma a periodikus pontokról, kódolás L-R/0-1 sorozatokkal
Számítógépes káosz-bizonyítás síkbeli leképezésekre:
átmenetgráf és lemma a periodikus pontokról:, kódolás L-R/0-1 sorozatokkal
A káosz szokásos indikátorai és kvantifikációi:
Liapunov exponens, a(z attraktor) nem egész számú boxdimenzió(ja), valamin
t a rekurrencia plot” segítségével valószínűsíthető tulajdonságok
Kvalitatív numerikus dinamika:
közönséges differenciálegyenletek diszkretizációja,
egyensúlyi helyzetek, periodikus megoldások, stabil/instabil sokaságok, attraktorok
Fraktálképek létrehozása iterált függvény-rendszerekkel:
Barnsley páfránya, Hutchinson operátor és a rá vonatkozó kontrakciós fixponttétel
Önhasonlóság és alkalmazása a képtömörítésben:
közelítés affin leképezések iterált függvényrendszerével
A számonkérés módja: Vizsga, számítógépes félévközi házi feladat beszámításával
Irodalom:
R. E. Moore, R.B. Kearfott, M.J. Cloud: Introduction to Interval Analysis, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2009
(Régebbi kiadásokban még nem szerepel az INTLAB és R.E. Moore az egyedüli szerző)
M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney: Differential equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Academic Press, New York, 2004
(Korábbi kiadások M.W. Hirsch és S. Smale szerzőségével a káoszról szóló részek nélkül.)
